数学

何が起きたのか 2026年8月5日、arXiv に『Linear dependence of time-frequency shifts of a Schwartz function』(arXiv:2608.05044)が投稿されました。著者は Markus Faulhuber、Philipp Petersen、Jordy Timo van Velthoven、Felix Voigtlaender の4名です。アブストラクトは短く、こう書かれています。有限個の時間周波数シフトが線形従属になりうることを示し、これにより Heil・Ramanathan・Topiwala のいわゆる HRT 予想を反証する。特に、12個の時間周波数シフトからなる例を与える（arXiv:2608.05044 2026-08-05）。 HRT 予想は 1996 年に Proceedings of the American Mathematical Society に載った論文（Heil, Ramanathan, Topiwala, “Linear Independence of Time-Frequency Translates”, Vol. 124 No. 9, pp. 2787–2795）に由来する、時間周波数解析の中心的な未解決問題でした（JSTOR）。それが 30 年目に否定された、というのが事実の骨格です。 そしてこの論文には、1.2 節という短いセクションが置かれています。タイトルは “Usage of Large Language Models”。冒頭の一文はこうです。反例とその証明戦略は、著者らとの対話の中で大規模言語モデル、具体的には ChatGPT (GPT-5.6 Pro) によって開発された（arXiv:2608.05044 HTML版）。 この記事では、『AI が 30 年来の未解決予想を反証した』という一行を、論文本文と Terence Tao 氏のブログ記事に戻って分解します。何が反例なのか、モデルが出した部分はどこまでで、人間が書き直した部分はどこからか、そして『区間演算で厳密に保証された』という言葉が実際に保証している範囲はどこまでか、の3点です。 HRT 予想が主張していたこと 時間周波数シフト作用素を $\pi(z)$ と書きます。$z=(x,\omega)\in\mathbb{R}^2$ に対して、論文では次のように定義されています（arXiv:2608.05044 HTML版）。 ...

何が起きたのか OpenAIが2026年8月1日、公式ページ「Ten advances in mathematics and theoretical computer science」で、内部モデル Astra が数学と理論計算機科学の10件の結果を出したと発表しました（OpenAI 2026-08-01）。いずれも主要部分に10年以上進展がなかった問題だとされています。 これまでのAI数学発表と決定的に違うのは、10件すべてに Lean 4 の機械検証可能な証明書が付いていることです。公式リポジトリ openai/ten-proofs には Lean 4.32.0 + mathlib による形式化が置かれ、lake exe cache get と lake build All で誰でも手元でビルドできます（openai/ten-proofs README）。論文本体は249ページで、10件すべての解の生成に要したトークンは Sol API レートで約2,000ドル相当だと報じられています（implicator.ai）。 この記事では「AIが数学を解いた」という見出しを、リポジトリの中身を実際に読むことで分解します。結論を先に言うと、このリリースで検証できる部分は過去のどのAI数学発表よりも厳密に検証でき、検証できない部分は依然としてはっきり残っています。そしてその境界線は、リポジトリの設定ファイルを開けば数行で確認できます。 10の結果は何なのか READMEに列挙されている10件と、対応するLeanモジュール名は次のとおりです（openai/ten-proofs README）。 高次元球充填──Cohn–Elkies閾値に到達する漸近上界の改善（SpherePacking.lean） 二元符号・球面符号──あらゆる最小距離において指数的に強い上界（MetricCodes.lean） 非ソフィック群──すべての群が有限置換近似を持つかという問題の解決（NonSoficGroup.lean） Connesの剛性予想──群フォンノイマン環が群を決定するという予想への反例（ConnesRigidity.lean） 算術回路計算量──permanentに対する $n^4/\log n$ のformula下界を含む新しい下界（Permanent.lean） 量子並列反復──任意の有限2人量子ゲームに対する指数的並列反復定理（QuantumParallelRepetition.lean） 最近ベクトル問題──多項式因子の近似困難性と格子への帰結（GapCVP.lean） Ehrhartの体積予想──各次元における鋭い最大体積（EhrhartVolumeInequality.lean） 多色Ramsey数──Erdős問題183を解決する超指数下界（MulticolorTriangleRamsey.lean） 極値グラフ理論──Erdős問題146と180を解決する反例（CompactnessAndDegeneracy.lean） 分野的な広がりが目を引きます。作用素環論（Connes剛性）、幾何学（球充填、Ehrhart）、群論（非ソフィック群）、量子計算量、格子暗号（CVP）、極値組合せ論が一つのリリースに同居しています。 球充填については、高次元での一般的な上界の指数が1978年の Kabatiansky–Levenshtein 以来更新されていませんでした。その古典的な形は $$\Delta_{\mathbb{R}^n} \le 2^{-(0.5990\ldots + o(1))n}$$というもので、今回の結果は Cohn–Elkies の線形計画限界の厳密な漸近レートを決定することで、この指数を1978年以来はじめて動かしたと説明されています（implicator.ai）。 非ソフィック群のほうは、soficityの概念が1999年に導入されて以来27年、非ソフィック群が存在するかどうかが未決着でした（implicator.ai）。ここで「明示的な構成が出た」という主張は、群論の側から見ればかなり大きな話になります。 Lean証明書は何を保証するのか──comparatorと3つの公理 ここが今回の技術的な核心です。「Leanで検証済み」という言葉は、実は複数の異なる強さを持ちえます。よくある抜け道は3つあります。 証明の途中に sorry を残す（未完成部分を穴として通す） 独自の公理を追加宣言する（定理を定義によって真にしてしまう） 形式化した命題が、実は元の未解決問題より弱い／別物である このリポジトリが面白いのは、これらのうち前2つを機械的に潰す仕組みを同梱している点です。lakefile.toml は mathlib に加えて leanprover 公式の Comparator v4.32.0 に依存しており、ComparatorChallenges/ ディレクトリに12個の設定ファイルが置かれています（READMEの10結果に対して12個なのは、二元符号と球面符号、およびcompactness予想と2-degenerateグラフがそれぞれ分割されているためです）。 ...

2026年3月、OpenAIはChatGPTに「数学や科学の概念をインタラクティブ（対話的）に可視化する」新機能を導入しました。 従来のChatGPTでもPythonコード実行（Code Interpreter）による静的なグラフ生成は可能でしたが、今回のアップデートでは、ユーザー自身がスライダーを動かしてグラフや図形をリアルタイムに変化させられる専用のインタラクティブUIが追加されました。 本記事では、この新機能の仕組みと、学生から社会人まで今すぐ使える具体的な活用法を解説します。 1. ChatGPTの「インタラクティブ可視化」とは？ 静的な説明から「体験型学習」への進化 従来のChatGPTでは、例えば「ピタゴラスの定理」について質問すると、$a^2 + b^2 = c^2$ という数式と、固定された三角形の画像が提示されるのみでした。 しかし新機能では、チャット画面上に動的な図形モジュールが生成されます。ユーザーが画面上のスライダーを使って辺 $a$ や $b$ の長さを変更すると、それに合わせて斜辺 $c$ の長さや三角形の形がリアルタイムで変形します。 この「操作して発見する」プロセスにより、抽象的な数式を直感的な感覚に結びつけることが可能になりました。 対応テーマ：70以上の数学・科学概念をカバー この機能は、リリース時点で高校数学から大学初年度レベルの物理・化学まで、70以上の特定テーマに対応しています（任意の数学的概念を自由に可視化できるわけではなく、OpenAIが事前に用意したトピックが対象です）。なお、対応トピックは今後拡大予定とされています。 代表的な対応テーマ例： 数学: 円の面積（$A = \pi r^2$）、三角関数のグラフ（$y = \sin x$）、微積分の概念図 物理: フックの法則（$F = -kx$）、クーロンの法則（$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$） 化学: シャルルの法則（$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ ※$T$は絶対温度） 単なる「公式の暗記」ではなく、変数同士がどう影響し合うかを動的図形で体感できる点が最大の特徴です。 2. 現場で使える！ChatGPTで数学を学ぶ3つの活用法 この機能を最大限に活かすための、具体的なプロンプト（指示文）と活用ステップを紹介します。 ① 関数のパラメータ変化を視覚的に理解する 高校数学でつまずきやすい「三角関数のグラフの移動」なども、この機能を使えば直感的に理解できます。 プロンプト例： 「$y = A \sin(Bx + C)$ のグラフをインタラクティブに可視化してください。A、B、Cの値をスライダーで動かせるようにして、それぞれがグラフの波形にどう影響するか解説して。」 このようなプロンプトを入力すると、多くの場合、振幅や周期、位相がどのように変化するかを、スライダーを動かしながら視覚的に確認できるUIが生成されます（LLMの性質上、毎回同一のUIが出るとは限りません）。 ② 物理の法則をシミュレーションする 数式だけではイメージしづらい物理現象も、シミュレーターとして活用できます。 プロンプト例： 「クーロンの法則について、2つの電荷の距離 $r$ を変えたときに、働く力 $F$ がどう変化するかをインタラクティブなグラフで示して。」 ...